Ces exercices sont conçus pour soutenir et renforcer la compréhension des élèves dans ce domaine crucial.
Mon objectif est d'aider les étudiants à surmonter les défis rencontrés et à améliorer leurs compétences en mathématiques.
Mathématiques Bac : Exercice Pratique sur les Fonctions
Exercices corrigés sur les fonctions, étude de la variation de la courbe, croissance d'une fonction.
Exercice n°1
Corrigé de l'exercice n° 1
Problème de fonctions g et h
Soit g et h sur l'intervalle : \( ]0,+\infty[ \mapsto \mathbb{R}\) comme suit:
\(h(x)=x+(x-2)\) et \(g(x)=x-1-\ln x\)
1. a) Calculons : g'(x) et étudions la variation de la fonction g(x)
\(g(x) = x - 1 - \ln(x)\) \(g'(x) = 1 - \frac{1}{x}\)
Pour étudier la variation, cherchons d'abord g'(x) = 0 : \(1 - \frac{1}{x} = 0\) \(1 = \frac{1}{x}\) \(x = 1\)
Tableau de variation :
- Pour x ∈ ]0,1[, g'(x) < 0, donc g est décroissante.
- Pour x ∈ ]1,+∞[, g'(x) > 0, donc g est croissante.
- g admet un minimum en x = 1.
b) En déduire que : \(g(x) \geq 0 (\forall x \in ]0,+\infty[)\)
\(g(1) = 1 - 1 - \ln(1) = 0\)
Comme g est décroissante sur ]0,1[ et croissante sur ]1,+∞[, avec un minimum de 0 en x = 1, on peut conclure que g(x) ≥ 0 pour tout x ∈ ]0,+∞[.
2. a) Montrer que : \(h(x)=1+g(x)+(x-1)\ln x\)
\(h(x) = x + (x-2)\) \(= 2x - 2\) \(= (x - 1) + (x - 1)\) \(= (x - 1) + (x - 1 - \ln(x)) + \ln(x)\) \(= g(x) + 1 + (x-1)\ln(x)\)
Donc, \(h(x) = 1 + g(x) + (x-1)\ln(x)\)
b) Montrer que: \((x-1)\ln x \geq 0\)
- Pour x ∈ ]0,1[, (x-1) < 0 et ln(x) < 0, donc leur produit est positif.
- Pour x = 1, (x-1)ln(x) = 0.
- Pour x ∈ ]1,+∞[, (x-1) > 0 et ln(x) > 0, donc leur produit est positif.
Donc, (x-1)ln(x) ≥ 0 pour tout x ∈ ]0,+∞[.
3. En déduire que: \(h(x) > 0\)
Nous avons montré que :
- g(x) ≥ 0
- (x-1)ln(x) ≥ 0
- Donc, \(h(x) = 1 + g(x) + (x-1)\ln(x) > 1 + 0 + 0 = 1 > 0\)
- Ainsi, h(x) > 0 pour tout x ∈ ]0,+∞[.
Exercice n° 2
Un autre exercice vise à permettre à l'apprenant de maîtriser correctement les fonctions numériques.
En résolvant ces exercices, les étudiants peuvent vérifier leurs compétences dans la manipulation des différentes fonctions, ce qui contribue à renforcer leur confiance et leur compréhension des concepts mathématiques.
L'accent mis sur ces fonctions aide également à améliorer les performances dans les tests de mathématiques et à obtenir de meilleurs résultats.
Soit \( g \) et \( h \) définies sur l'intervalle \( ]0,+\infty[ \) comme suit :
\( h(x) = x + (x - 2) \)
\( g(x) = x - 1 - \ln x \)
1. a) Calculons la dérivée de \( g(x) \) et étudions la variation de la fonction \( g(x) \).
b) En déduire que \( g(x) \geq 0 \) pour tout \( x \in ]0,+\infty[ \).
2. a) Montrer que \( h(x) = 1 + g(x) + (x - 1)\ln x \).
b) Montrer que \( (x - 1)\ln x \geq 0 \) pour tout \( x \in ]0,+\infty[ \).
3. En déduire que \( h(x) > 0 \) pour tout \( x \in ]0,+\infty[ \).
Corrigé de l'exercice n° 2
Exercice corrigé sur les Fonctions.
Soit g et h définies sur l'intervalle \( ]0,+\infty[ \) comme suit :h(x) = \(x + (x - 2)\)
g(x) =\( x - 1 - \ln x\)
1. a) Calculons la dérivée de g(x) et étudions la variation de la fonction g(x).
Calculons d'abord g'(x) :
Pour trouver la dérivée 𝑔′(𝑥), utilisons les règles de dérivation :
- La dérivée de 𝑥 est 1.
- La dérivée de 1 est 0.
- La dérivée de ln𝑥 est \(\frac{1}{x}\).
Ainsi, la dérivée de g(x) est :
𝑔′(𝑥)=\(1-0-\frac{1}{x}\)=\(1-\frac{1}{x}\)
Étudions les variations de g(x):
Pour étudier la variation de g(x), nous examinons le signe de g'(x) :1. Trouvons les points critiques en résolvant l'équation 𝑔′(𝑥)=0.
⇒ \(1=\frac{1}{x}\)
⇒ \(x=0\)
2. Déterminons le signe de 𝑔′(𝑥) sur les intervalles définis par le point critique : x=1.
Tableau de variation de g(x) = x - 1 - ln(x)
| Variation de g(x) | ||
|---|---|---|
| \(0 < x < 1\) | \(x > 1\) | |
| \(x\) | \(\searrow\) | \(\nearrow\) |
| \(g(x)\) | \(-\infty < g(x) < 0\) | \(0 < g(x) < \infty\) |
- Si x > 1, alors \( g'(x) = 1 - \frac{1}{x} > 0\), donc g(x) est croissante.
- Si 0 < x < 1, alors \( g'(x) = 1 - \frac{1}{x} < 0\), donc g(x) est décroissante.
- En x = 1, g'(1) = 0, donc x = 1 est un point critique.
Ainsi, \(g(x) \geq 0\) pour tout \(x \in ]0,+\infty[\) car la fonction est décroissante avant x = 1 et croissante après, avec \(g(1) = 0\).
b) En déduire que \(g(x) \geq 0\)pour tout \(x \in ]0,+\infty[\).
En effet, comme montré ci-dessus, \(g(x) \geq 0\) pour tout \(x \in ]0,+\infty[\).2. a) Montrer que \(h(x) = 1 + g(x) + (x - 1)\ln x\) .
Nous avons l'équation suivante\(h(x)\) :
\(h(x) = x + (x - 2) = 2x - 2\)Montrons que :
\(h(x) = 1 + g(x) + (x - 1)\ln x\)
On aura l'équation comme suit:
\(2x - 2 = 1 + (x - 1 - \ln x) + (x - 1)\ln x\)
\(2x - 2 = 1 + x - 1 - \ln x + (x - 1)\ln x\)
\(2x - 2 = x + (x - 1)\ln x\)
L'égalité est vérifiée, cela signifie aussi que;
b) Montrer que \((x - 1)\ln x \geq 0\) pour tout \(x \in ]0,+\infty[\).
- Pour x = 1, \((x - 1)\ln x = 0\).
- Pour x > 1, \(x - 1 > 0\) et \(\ln x > 0\), donc\( (x - 1)\ln x > 0\).
- Pour \(0 < x < 1\), \(x - 1 < 0 \)et \(\ln x < 0\), donc\( (x - 1)\ln x > 0\) car le produit de deux valeurs négatives est positif.
3. En déduire que h(x) > 0 pour tout \(x \in ]0,+\infty[\).
En utilisant le fait que \((x - 1)\ln x \geq 0\), nous avons :
\(h(x) = 1 + g(x) + (x - 1)\ln x\)\(h(x) > 1 + 0\)
\(h(x) > 0\)
Donc, \(h(x) > 0\) pour tout \(x \in ]0,+\infty[\).