challenge du mathématique | Nombre complexe

Les exercices proposés dans le Challenge du mathématique nécessitent toujours une approche technique précise pour être résolus efficacement, compte tenu de leur nature composite.

Le focus se combine à chaque exercice car il nécessite une compréhension et une application minutieuses des techniques appropriées. Le souci du détail est nécessaire pour mener ces exercices avec succès et efficacité.

Challenge du mathématique | Nombre complexe

Nous avons retenu certaines activités pour évaluer la compréhension de la leçon complexe afin de les résoudre et d'appliquer les règles de la leçon du nombre complexe et l'intégrale par partie.

Sujet 1

Soit la fonction complexe suivante: \(f(z)=e^{az}\) avec  \(a\in\mathbb{C}\) et  \(z\in\mathbb{C}\).

• Montrez que f(z) est une solution de l'équation différentielle \(f'(z)=af(z)\).
• Utilisez l'intégration par parties pour évaluer l'intégrale suivante: \[ \int_0^\infty e^{-(a+bi)x} \, dx \] où a et b sont des réels positifs.

Correction sujet 1

Soit la fonction complexe suivante : \( f(z) = e^{az} \) avec \( a \in \mathbb{C} \) et \( z \in \mathbb{C} \).

• Montrons que \( f(z) \) est une solution de l'équation différentielle \( f'(z) = af(z) \).
• La dérivée de \( f(z) \) est \( f'(z) = \frac{d}{dz} e^{az} = ae^{az} = af(z) \).
• Donc, \( f(z) = e^{az} \) satisfait l'équation différentielle \( f'(z) = af(z) \).

Utilisons l'intégration par parties pour évaluer l'intégrale suivante : \[ \int_0^\infty e^{-(a+bi)x} \, dx \]

• où \( a \) et \( b \) sont des réels positifs.
• Choisissons \( u = 1 \) et \( dv = e^{-(a+bi)x} \, dx \). Alors, \( du = 0 \) et \( v = \frac{e^{-(a+bi)x}}{-(a+bi)} \).

Appliquons l'intégration par parties : \[ \int_0^\infty e^{-(a+bi)x} \, dx = \left[ \frac{e^{-(a+bi)x}}{-(a+bi)} \right]_0^\infty - \int_0^\infty 0 \cdot e^{-(a+bi)x} \, dx \]

• Calculons chaque terme :

\[ \left[ \frac{e^{-(a+bi)x}}{-(a+bi)} \right]_0^\infty = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{e^{-(a+bi)x}}{-(a+bi)} \right) - \left( \frac{e^{-(a+bi)\cdot 0}}{-(a+bi)} \right) = \frac{1}{a+bi} \]

• Donc, \( \int_0^\infty e^{-(a+bi)x} \, dx = \frac{1}{a+bi} \).

Sujet 2

• Résoudre l'intégrale définie suivante :  \[ \int_{0}^{1} \cos^2(x) \sin(x) \, dx \]

Correction d'orthographe

Pour résoudre l'intégrale définie suivante :  \[ \int_{0}^{1} \cos^2(x) \sin(x) \, dx \]

• nous pouvons utiliser la méthode de substitution.
• Soit \( u = \cos(x) \), alors \( du = -\sin(x) \, dx \).
• Réécrivons l'intégrale en termes de \( u \) :  \[ \int_{0}^{1} \cos^2(x) \sin(x) \, dx = \int_{\cos(1)}^{\cos(0)} u^2 (-du) \]
• Sachant que \( \cos(0) = 1 \) et \( \cos(1) \) est une constante, l'intégrale devient : \[ -\int_{1}^{\cos(1)} u^2 \, du \]
• Nous pouvons inverser les bornes d'intégration en changeant le signe :  \[ \int_{\cos(1)}^{1} u^2 \, du \]
• Intégrons \( u^2 \) :  \[ \int u^2 \, du = \frac{u^3}{3} \]
• Évaluons cette intégrale de \( \cos(1) \) à 1 :  \[ \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{\cos(1)}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{\cos^3(1)}{3} = \frac{1}{3} - \frac{\cos^3(1)}{3} \]

Donc, la réponse est : \[ \frac{1 - \cos^3(1)}{3} \]